Friday, November 5, 2010

La historia incompleta


Complete las siguientes frases:





  1. Si cov(X,Y) es igual a cero, entonces la correlación entre X y Y es igual a ____


  2. Si X y Y son independientes, entonces cov(X,Y) es igual a ____


  3. Si X y Y son independientes, entonces la correlación entre X y Y es igual a ____


De seguro que la mayoría de lectores, al igual que yo en un comienzo, aseveró que la palabra correcta para completar las frases es cero. Pues bien, Nitis Mukhopadhyay en un reciente artículo del American Statistician muestra que no siempre es así. A continuación unos ejemplos ilustrativos:





  1. Sea U una variable aleatoria con distribución normal estándar y defínase X=U y Y=1/U. Luego XY=1 con probabilidad uno. Dado que E(Y) no es finita, entonces cov(X,Y) tampoco lo es. Luego, para dos variables aleatorias correctamente definidas, no necesariamente existe el término de covarianza.


  2. Sean U_1, U_2, U_3, U_4 y U_5 variables aleatorias independientes con distribución normal estándar y defínase W=U_1^2+ U_2^2+ U_3^2 +U_4^2. Ahora, sean X=WU_5 y Y=1/W. Es fácil notar que W es una variable aleatoria con distribución ji cuadrado y que Y tiene distribución inversa ji cuadrado. Luego E(W)=4, E(XY)=E(U_5)=0 y E(Y)=1/2. De esta forma, cov(X,Y)=0. Sin embargo, dado que V(Y) es no finita, entonces el coeficiente de correlación es no finito. Entonces, aunque cov(X,Y)=0, la correlación no es nula.


  3. Suponga U_1, U_2 variables aleatorias independientes con distribución normal estándar y defínase X=U_1 y Y=1/U_2. Claramente X es independiente de Y, pero dado que XY define una variable aleatoria con distribución de Cauhy, entonces su esperanza no es finita y por supuesto cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) no es finita. De esta manera, aunque X es independiente de Y, la covarianza no es nula.


  4. Sean U_1, U_2, U_3, U_4 y U_5 variables aleatorias independientes con distribución normal estándar y defínase X= U_1^2 y Y=1/(U_2^2+ U_3^2 +U_4^2+U_5^2). Obviamente, X es independiente de Y, además X tiene distribución ji cuadrado, Y tiene distribución ji cuadrado inversa y XY=(1/4)Z con Z una variable aleatoria con distribución F. Luego, E(X)=1, E(Y)=1/2, E(XY)=1/2 y se tiene que cov(X,Y)=0. Sin embargo, dado que E(Y^2) no es finita, entonces var(Y) tampoco lo es al igual que la correlación . En resumen, se tiene que, aunque X es independiente de Y, y la covarianza es nula, la correlación no lo es.


De este modo Mukhopadhyay concluye que los conceptos de covarianza, correlación e independencia deberían ser formalmente introducidos teniendo en cuenta que los momentos de orden uno y dos deben ser finitos para que, de esta manera, sea verídico que la palabra correcta para completar las frases sea cero.


PD: Espero que mis lectores no encuentren incomodidad alguna en la escritura X y Y, puesto que según la nueva edición de la ortografía, elaborada por las veintidós academias de la lengua, la letra Y se llamará "ye".


 

1 comment:

  1. Está bueno para dar contraejemplos en clase.

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