Tuesday, April 7, 2009

Una generalización de las medias

Jhon Cook trae a colación el siguiente resultado que generaliza algunas de las medidas más utilizadas en estadística. Sea $latex mathbf{x}=(x_1,ldots,x_n)$ un vector de $latex n$ números reales no negativos. Se define, para $latex r neq 0$, $latex M_r(mathbf{x})$ como


$latex M_r(mathbf{x})=frac{1}{n}left( sum_{i=1}^nx_i^rright)^{1/r}.$


Entonces, la media aritmética, harmónica y geométrica corresponden a $latex M_1$, $latex M_0$ y $latex M_{-1}$. Si se define $latex M_{infty}$ como el límite cuando $latex r$ tiende a $latex {infty}$ y, similarmente, se define $latex M_{-infty}$ como el límite cuando $latex r$ tiende a $latex -infty$, entonces $latex M_{infty}=max(x_1,ldots,x_n)$ y $latex M_{-infty}=min(x_1,ldots,x_n)$.


Además se tiene el siguiente resultado: Si $latex r<s$, entonces $latex M_r < M_s$. Lo anterior es una generalización del conocido teorema que afirma que la media geométrica nunca es mayor que la media aritmética. Nótese que es posible generalizar aún más introduciendo una combinación lineal convexa de pesos positivos $latex p_i$ tales que $latex p_1+cdots+p_n=1$. De esta manera tendríamos que


$latex M_r(mathbf{x})=left(sum_{i=1}^n frac{1}{p_i}x_i^rright)^{1/r}.$

1 comment:

  1. Esas medias se pueden definir en términos de medidas L_p. Es más al ponerlo en esos términos el resultado de M_r<M_s es directo.

    ReplyDelete